| WarCraft 3: Математический подход к движению |  |
Примечание
В Warcraft III функции Sin и Cos принимают углы в радианах,
поэтому, чтобы правильно оперировать с углами в градусах (например, взятый угол
поворота юнита), нужно умножать их на bj_DEGTORAD. Пример: local real a = GetUnitFacing(u) local real distance = 1000.0 local real vec_x = distance * Cos(a * bj_DEGTORAD) local real vec_y = distance * Sin(a * bj_DEGTORAD)
— прим. ScorpioT1000
Что такое сферические координаты
Итак, частным случаем сферических координат являются полярные координаты
(угол плюс расстояние) данные координаты позволяют очень удобно и гибко работать
с перемещениями в 2d (да и не только с ними), в сферических же координатах
добавляться еще один угол, в результате мы получаем 3d аппарат.
Как это выглядит?
Итак, там есть два угла, нижний (который фи) это известный нам угол
полярных координат, а вот верхний (тета) тот самый введенный, в классике, как на
картинке, это угол между направлением "вверх" и направлением к точке (чьи
координаты мы хотим представить), так же существует и система координат, где
угол берётся между направлением и проекцией на плоскость.
Формулы перехода
Для полярных координат это:
set x = p * Cos( a ) set y = p * Sin( a )
Для сферических все не намного сложнее:
set x = p * Cos( a ) * Sin( t ) set y = p * Sin( a ) * Sin( t ) set z = p * Cos( t )
t - новый угол, эти формулы для классики, для второй системы координат
достаточно поменять синус и косинус введенного угла местами.
Для чего это нужно
Ну спектр применения довольно широк, например когда нужно, чтоб огненный
шарик летел не просто в точку с координатами X и Y, но и учитывалась высоты этой
точки. В общем там где высота имеет значение.
Еще одна формула
Просто для общего развития (тех кто не знает само собой :):). Формула
расстояния d 3d set p = SquareRoot( dx * dx + dy * dy + dz * dz)
Где dx, dy, dz - соответствующая разница координат.
Цилиндрические координаты
Но не всегда 3d удобно представлять в виде сферы. Пример такого неудобства
всевозможные спирали вокруг юнита и так далее. Интуитивно многие приходили к
этой системе. И она несколько проще для понимания.
Как это выглядит?
разберемся чем это отличается от сферических координат? В основе все та же
полярка, а вот 3я координата вводиться просто и без заумностей, как
высота.
Формулы перехода
Формулы тут тоже гораздо проще:
set x = p * Cos( a ) set y = p * Sin( a ) set z = h
Тут угол а - угол полярных координат, h - высота точки, p - длинна проэкции
на плоскость.
Для чего это нужно
С помощью цилиндрических координат решаются те же задачи что и с помощью
сферических, тут стоит вопрос удобства. Например реализация движения по
поверхности сферы это удобнее в сферических, а по поверхности цилиндра это в
цилиндрических.
Что такое повороты и с чем их едят
Иногда не очень удобно использовать ту или иную систему координат "как
есть". Например задача: построить окружность в плоскости отличной от
горизонтальной. На первый взгляд решение стоит копать в сторону сферических
координат... Но нахождение параметрического уравнения такой окружности в
сферических координатах не такая уж простая задача, гораздо удобнее и быстрее
(как в человеческом понимании, так и в машинном) работать с
поворотами. Что нам нужно?
Для начала разберемся, что же задает плоскость в пространстве? Для наших
целей подойдет 2 угла (a и b) и точка t. t - точка через которую проходит
горизонтальная плоскость (которую и будем поворачивать) a - угол поворота
вокруг оси, параллельной X, проходящей через t b - угол поворота вокруг оси,
параллельной Z, проходящей через t (на самом деле можно брать любые 2
оси) Таким образом можно задать любую плоскость в пространстве. Формулы перехода
Перейдем к формулам. Пусть есть две точки t1 и t2, и угол на который
надо повернуть t2 относительно t1 (пусть это будет угол a) вокруг какой-то оси.
Тогда формулы поворота будут иметь вид: //вокруг оси X: set x' = x2 set y' = y1 + (y2 - y1) * Cos( a ) + (z1 - z2) * Sin( a ) set z' = z1 + (y2 - y1) * Sin(a ) + (z2 - z1) * Cos( a ) //вокург оси Y: set x' = x1 + (x2 - x1) * Cos( a ) + (z1 - z2) * Sin( a )
set y' = y2 set z' = z1 + (x2 - x1) * Sin( a ) + (z2 - z1) * Cos( a ) //вокруг оси X: set x' = x1 + (x2 - x1) * Cos( a ) + (y2 - y1) * Sin( a )
set y' = y1 + (x2 - x1) * Sin( a ) + (y1 - y2) * Cos( a ) set z' = z2
Здесь x', y' и z' - новые координаты точки t2.
Опять к окружностям
Вернемся к нашей задаче. С помощью поворотов и можно построить окружность с
центром в какой либо точке и произвольным наклоном. Что для этого нужно? Не так
много. Построить окружность с помощью 2d координат, и подействовать на них
последовательно двумя поворотами относительно двух любых осей на требуемые
углы. На самом деле мы опять придем к сферической системе координат, но как
бы с задней двери. В примере показаны юниты летающие по поверхности цилиндра и сферы (в 2х
вариациях: через сферические координаты и повороты полярной системы
координат). Каждые 5 секунд будут создаться по одному юниту для каждой
системы координат. | 
